Gravedad newtoniana



La densidad lagrangiana para la gravedad de Newton viene dada por ecuaciones de este tipo:



Ejemplo: ley de Gauss para la gravedad (expresada en forma diferencial).

Realizando la variacion infinitesimal e igualando a 0 obtenemos la siguiente expresion:


Donde phi es el potencial gravitatorio y rho es la densidad de masa.

Otra expresión equivalente, expresada en forma integral, es:


Esta ecuación nos habla del flujo de las líneas de campo que atraviesan una superficie arbitraria que encierra un volumen determinado

Relatividad general



En el campo de la relatividad general la densidad lagrangiana más sencilla con la que se obtienen las ecuaciones de campo de Einstein (con la constante cosmológica añadida) con materia viene dada por la siguiente ecuacion:

Donde L(EH) es el lagrangiano que corresponde con la acción de Hilbert-Einstein y se le suma otra cantidad lagrangiana correspondiente a la materia y la energía, R es el escalar de Ricci (que habla de la curvatura del espacio-tiempo), y lambda es la constante cosmológica.

Si ahora realizamos la variación infinitesimal de la acción asociada con esta cantidad lagrangiana e igualamos a cero, obtendremos las famosas ecuaciones de campo:

Donde el tensor de energía momento debe cumplir la siguiente ecuación:

Ecuaciones de las geodésicas espacio-temporales



Una vez palpamos como la materia y energía deforma el espacio-tiempo, las ecuaciones de las geodésicas nos dicen que todo cuerpo, materia o energía realmente va en “línea recta” sobre un espacio curvo.

La acción viene dada por la siguiente ecuacion:

Sean dos puntos constantes en una superficie, nos interesa hallar, de la infinidad de curvas (inscritas en la superficie) que conectan los dos puntos, aquel grupo de curvas que minimizan o maximizan su longitud.

Realizando una variación, operando e igualando a cero obtendríamos las ecuaciones de las geodésicas:




Electromagnetismo en relatividad general



Como del electromagnetismo surge la relatividad especial, y de esta misma la relatividad general, encontramos que la relatividad general y el electromagnetismo son compatibles, por lo que, de alguna forma u otra, hallamos que la acción total es igual a la suma de las acciones parciales.

Es decir:

Por lo que podemos reproducir las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de un campo electromagnético usando esta cantidad lagrangiana. Así pues, las ecuaciones de campo quedarían tal que:


Adicionalmente, obtendríamos las ecuaciones de Maxwell:


Si se resuelven ambas ecuaciones con una distribución de masa esférica (es decir, simétrica) obtendríamos una solución estática que es conocida como la métrica de Reissner-Nordström para un agujero negro cargado eléctricamente.


Copyright © Rodrigo Rivas Arévalo with the help of Aritz and Felipe